Question

【題目】如圖，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是對角線BD上的一個動點，作PF⊥BD于P，交邊BC于點F（點F與點B、C都不重合），E是射線FC上一動點，連接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，設B、P兩點的距離為x，△DEP的面積為y

（1）求出tan∠PBF；

（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍

（3）當△DEP與△BCD相似時，求△DEP的面積

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當∠DEP=90°時，面積為；當∠PDE=90°時，面積為

【解析】

(1)利用矩形的性質以及銳角三角函數關系進而得出,即可得出tan∠PBF的值;

(2)首先根據相似三角形的判定定理得出,然后利用相似三角形的性質進而得出,即可求出y與x的函數關系;

(3)利用當△DEP與△BCD相似時,只有兩種情況:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°,分別利用勾股定理和相似三角形的性質計算得出答案即可.

(1)∵四邊形ABCD是矩形,

又

即

又

,即

如圖,作垂足為H,則

又

設則,

,

又

由勾股定理得：

=

又

當△DEP與△BCD相似時,

只有兩種情況:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°

①當∠DEP=90°,

∵∠DPE+∠PDE=90°即

∠PDE=∠CBD

∴BE=DE

設CE=a,則BE=DE=4-a

在Rt△DEC中,勾股定理得

解之

則,

又∵△BCD的面積=4

②當∠EDP=90°,如圖2,