Question

【題目】點C為線段上一點，以為斜邊作等腰，連接，在外側，以為斜邊作等腰，連接．

（1）如圖1，當時：

①求證：；

②判斷線段與的數量關系，并證明；

（2）如圖2，當時，與的數量關系是否保持不變？

對于以上問題，小牧同學通過觀察、實驗，形成了解決該問題的幾種思路：

想法1：嘗試將點D為旋轉中心，過點D作線段垂線，交延長線于點G，連接；通過證明解決以上問題；

想法2：嘗試將點D為旋轉中心，過點D作線段垂線，垂足為點G，連接．通過證明解決以上問題；

想法3：嘗試利用四點共圓，過點D作垂線段，連接，通過證明D、F、B、E四點共圓，利用圓的相關知識解決以上問題．

請你參考上面的想法，證明（一種方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②，證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）①如圖（見解析），先根據直角三角形的性質得出，再根據等腰三角形的三線合一得出是斜邊AC上的中線，然后根據直角三角形的性質，最后根據等量代換即可得證；

②先結合①的結論、等腰直角三角形的性質，，，再根據角的和差、直角三角形的性質得出，然后根據等邊三角形的判定與性質得出，由此即可證出；

（2）想法1：先根據等腰三角形的性質、角的和差得出，再根據等腰三角形的性質可得，然后根據三角形全等的判定定理與性質可得，從而可得，最后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證；

想法2：先根據等腰直角三角形的性質、角的和差得出，，再根據相似三角形的判定與性質得出，從而可得平分，然后根據等腰三角形的三線合一可得是的垂直平分線，最后根據垂直平分線的性質、等量代換即可得證；

想法3：先根據垂直的定義、等腰直角三角形的定義得出，，從而可得，由此可證出D、F、B、E四點共圓，再根據圓周角定理可得，然后同想法2的方法即可得證．

（1）①過點D作于F

是等腰三角形

是斜邊AC上的中線（等腰三角形的三線合一）

；

②，證明如下：

等腰與等腰中

，，

是等邊三角形

；

（2）想法1：如圖，過點D作線段垂線，交延長線于點G，連接

是等腰直角三角形

，，

，即

是等腰直角三角形

，即

在和中，

是直角三角形

點E是BG的中點，即CE是斜邊BG上的中線

；

想法2：如圖，過點D作線段垂線，垂足為點G，連接

是等腰直角三角形

，，，

是等腰直角三角形

，即

是等腰直角三角形

，，，即

在和中，

平分

是等腰直角三角形

是的垂直平分線（等腰三角形的三線合一）

即；

想法3：如圖，過點D作垂線段，連接

是等腰直角三角形

，，

D、F、B、E四點共圓

同想法2可證：是的垂直平分線

即．