Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，則下列結論：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF=AF+DE；
④當∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形．
其中一定正確的是（ ）

A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如果OA=OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合題意，

∴①不正確；

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠EAD∠FAD，

在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，DE=DF，

∴AE+DF=AF+DE，

∴③正確；

在△AEO和△AFO中，

，

∴△AE0≌△AF0（SAS），

∴EO=FO，

又∵AE=AF，

∴AO是EF的中垂線，

∴AD⊥EF，

∴②正確；

∵當∠A=90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，

∴四邊形AEDF是矩形，

又∵DE=DF，

∴四邊形AEDF是正方形，

∴④正確．

綜上，可得正確的是：②③④．

所以答案是：B．

【考點精析】掌握線段垂直平分線的判定和角的平分線判定是解答本題的根本，需要知道和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點(交于一點)．