Question

【題目】在數學上，我們把符合一定條件的動點所形成的圖形叫做滿足該條件的點的軌跡．例如：動點P的坐標滿足（m，m﹣1），所有符合該條件的點組成的圖象在平面直角坐標系xOy中就是一次函數y=x﹣1的圖象．即點P的軌跡就是直線y=x﹣1．

（1）若m、n滿足等式mn﹣m=6，則（m，n﹣1）在平面直角坐標系xOy中的軌跡是　 　；

（2）若點P（x，y）到點A（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，求點P的軌跡；

（3）若拋物線y=上有兩動點M、N滿足MN=a（a為常數，且a≥4），設線段MN的中點為Q，求點Q到x軸的最短距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=x2；（3）點Q到x軸的最短距離為1．

【解析】

（1）先判斷出m（n﹣1）=6，進而得出結論；

（2）先求出點P到點A的距離和點P到直線y=﹣1的距離建立方程即可得出結論；

（3）設出點M，N的坐標，進而得出點Q的坐標，利用MN=a，得出，即可得出結論．

（1）設m=x，n﹣1=y，

∵mn﹣m=6，

∴m（n﹣1）=6，

∴xy=6，

∴

∴（m，n﹣1）在平面直角坐標系xOy中的軌跡是

故答案為：；

（2）∴點P（x，y）到點A（0，1），

∴點P（x，y）到點A（0，1）的距離的平方為x2+（y﹣1）2，

∵點P（x，y）到直線y=﹣1的距離的平方為（y+1）2，

∵點P（x，y）到點A（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，

∴x2+（y﹣1）2=（y+1）2，

∴

（3）設直線MN的解析式為y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴線段MN的中點為Q的縱坐標為

∴

∴x2﹣4kx﹣4b=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，

∴

∴

∴

∴點Q到x軸的最短距離為1．