Question

【題目】如圖1，已知直線的解析式為，直線的解析式為，且的面積為6.

(1)求和的值.

(2)如圖1，將直線繞點逆時針旋轉得到直線，點在軸上，若點為軸上的一個動點，點為直線上的一個動點，當的值最小時，求此時點的坐標及的最小值.

(3)如圖2，將沿著直線平移得到，與軸交于點，連接、，當是等腰三角形時，求此時點坐標.

Answer 1

【答案】（1），b=-2，；（2）M(，0)，的最小值為；（3）當是等腰三角形時，P(2,0)或P（6,0）.

【解析】

(1)根據得到點C的坐標，代入得到b=-2，根據的面積為6，求出點B的坐標，代入即可求出k的值；

(2)根據點A、C的坐標求出∠OAC=45，由將直線繞點逆時針旋轉得到直線，點在軸上，得到OD=OA=2，過點A作A⊥x軸，且A=AB=6-（-2）=8，連接B，此時點B與點關于直線AD對稱，連接C交直線AD于點N，交x軸于點M，此時的值最小，利用勾股定理求出C的長度即可；

(3)根據平移設點的坐標為（c，-c-2），由平移設直線的解析式為y=x+m，利用點求得直線的解析式為y=x-2c-2，得到點P（2c+2,0），利用勾股定理求得、、，分三種情況求出c的值，即可得到點P的坐標.

(1)令中x=0，得y=-2，∴C(0，-2)，∴OC=2，

將點C的坐標代入中，得b=-2，

∴直線AC的解析式為y=-x-2，

∵的面積為6，

∴，

∴OB=6，點B的坐標為（6,0），

將點B的坐標代入中，得6k-2=0，∴；

(2)

∵直線AC的解析式為y=-x-2，

∴當y=0時，x=-2，∴A（-2,0），

∴OA=OC,

∴∠OAC=45，

∵將直線繞點逆時針旋轉得到直線，點在軸上，

∴∠OAD=45，

∴OD=OA=2，

過點A作A⊥x軸，且A=AB=6-（-2）=8，連接B，此時點B與點關于直線AD對稱，連接C交直線AD于點N，交x軸于點M，此時的值最小.

設直線的解析式為y=dx+e，將點C(0，-2), (-2,8)代入，得

，得，∴直線的解析式為y=-5x-2，

當y=0時，，∴M(，0)，

∵OC=OA=OD，

∴DM=MC，

∵BN=N，

∴

=MC+MN+N，

=C，

過點C作CE⊥A，

∴CE=2，E=10，

∴C=，

∴的最小值為.

(3)設直線AD的解析式為y=ax+n，將點A（-2,0），D(0，2)代入，

∴，得

∴設直線AD的解析式為y=x+2，

由(2)知：直線AC的解析式為y=-x-2，

設點的坐標為（c，-c-2），

由平移設直線的解析式為y=x+m，將點的坐標代入，得

c+m=-c-2，

m=-2c-2，

∴直線的解析式為y=x-2c-2，

當y=0時，x=2c+2，∴P（2c+2,0），

過點作H⊥x軸于H，作E⊥y軸于E，

∴=2c+2-c=c+2， =c+2，E=c，DE=2-(-c-2)=c+4，

∴，

，

,

當是等腰三角形時，分三種情況：

①當P=D時，得，方程無解，舍去；

②當P=PD時，得，得c=0，

∴P(2,0)，

③當D=PD時，得，得c=2或,c=-2（舍去），

∴P（6,0），

綜上，當是等腰三角形時，P(2,0)或P（6,0）.