Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2+bx+（a≠0）經過點A（-1，0）和B（3，0）．

（1）求拋物線C1的解析式，并寫出其頂點C的坐標；

（2）如圖1，把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時得到拋物線C2，此時點A，C分別平移到點D，E處．設點F在拋物線C1上且在x軸的下方，若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，求點F的坐標；

（3）如圖2，在（2）的條件下，設點M是線段BC上一動點，EN⊥EM交直線BF于點N，點P為線段MN的中點，當點M從點B向點C運動時：

①tan∠ENM的值如何變化？請說明理由；

②點M到達點C時，直接寫出點P經過的路線長．

Answer 1

【答案】（1），頂點C（1，2）；（2）F（﹣3，﹣6）；（3）①tan∠ENM=2，是定值，不發生變化；②．

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法即可求得解析式，把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標；

（2）根據A、C的坐標求得直線AC的解析式為y=x+1，根據題意求得EF=4，求得EF∥y軸，設F（m，-m2+m+），則E（m，m+1），從而得出（m+1）-（-m2+m+）=4，解方程即可求得F的坐標；

（3）①先求得四邊形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根據△EGN∽△EMC，對應邊成比例即可求得tan∠ENM==2；

②根據勾股定理和三角形相似求得EN=，然后根據三角形中位線定理即可求得．

試題解析：（1）∵拋物線C1：y=ax2+bx+（a≠0）經過點A（-1，0）和B（3，0），

∴解得，

∴拋物線C1的解析式為y=-x2+x+，

∵y=-x2+x+=-（x-1）2+2，

∴頂點C的坐標為（1，2）；

（2）如圖1，作CH⊥x軸于H，

∵A（-1，0），C（1，2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直線AC的解析式為y=x+1，

∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y軸，

∵DE=AC=2，

∴EF=4，

設F（m，-m2+m+），則E（m，m+1），

∴（m+1）-（-m2+m+）=4，

解得m=3（舍）或m=-3，

∴F（-3，-6）；

（3）①tan∠ENM的值為定值，不發生變化；

如圖2，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四邊形DFBC是矩形，

作EG⊥AC，交BF于G，

∴EG=BC=AC=2，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴，

∵F（-3，-6），EF=4，

∴E（-3，-2），

∵C（1，2），

∴EC==4，

∴=2，

∴tan∠ENM==2；

∵tan∠ENM的值為定值，不發生變化；

②點P經過的路徑是線段P1P2，如圖3，

∵四邊形BCEG是矩形，GP2=CP2，

∴EP2=BP2，

∵△EGN∽△ECB，

∴，

∵EC=4，EG=BC=2，

∴EB=2，

∴，

∴EN=，

∵P1P2是△BEN的中位線，

∴P1P2=EN=；

∴點M到達點C時，點P經過的路線長為．