Question

12、已知△ABC的邊BC上有兩點D，E，且BD=CE，求證：AB+AC＞AD+AE．

Answer 1

分析：先連接AF并延長至G，使FG=AF，其中F是BC的中點，連接GB，GC，GD，GE．可知四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，延長AD至H，交BG于H．運用三角形的三邊關系：“兩邊之和大于第三邊”即可進行證明．

解答：證明：連接AF并延長至G，使FG=AF，其中F是BC的中點，連接GB，GC，GD，GE，
∵BD=CE，
∴DF=EF，
∴四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，
∴BG=AC，DG=AE，
延長AD至H，交BG于H，
∵AB+BH＞AD+DH，DH+HG＞DG，
∴AB+BH+DH+HG＞AD+DH+DG，
∴AB+BG＞AD+DG，
即AB+AC＞AD+AE．

點評：本題考查了三角形三邊關系，將證明邊的大小關系的問題轉化為三角形三邊關系問題是解題的關鍵．本題借助輔助線DH起樞紐作用．