Question

（2012•金山區一模）如圖，已知△ABC的邊BC長15厘米，高AH為10厘米，長方形DEFG內接于△ABC，點E、F在邊BC上，點D、G分別在邊AB、AC上．
（1）設DG=x，長方形DEFG的面積為y，試求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（2）若長方形DEFG的面積為36，試求這時

AD

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）易證得△ADG∽△ABC，那么它們的對應邊和對應高的比相等，可據此求出AP的表達式，進而可求出PH即DE、GF的長，已知矩形的長和寬，即可根據矩形的面積公式得到y、x的函數關系式；
（2）根據（1）題所得函數的性質及自變量的取值范圍，即可求出這時

AD

AB

的值．

解答：（1）解：設AH與DG交于點P，
∵矩形DEFG，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，且AP⊥DG，
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
即

AP

10

=

x

15

，
∴AP=

2

3

x，從而PH=10-

2

3

x
∴y=DG•DE=x(10-

2

3

x)=-

2

3

x2+10x，
定義域為 0＜x＜15；
（2）由已知，y=-

2

3

x2+10x=36，
解得x=6或x=9，
當x=6時，

AD

AB

=

DG

BC

=

2

5

；
當x=9時，

AD

AB

=

DG

BC

=

3

5

．

點評：此題主要考查了矩形的性質、相似三角形的判定和性質以及二次函數的應用等知識，能夠根據相似三角形求出矩形的寬是解答此題的關鍵．