Question

如圖所示，某地計劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進行生態環境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米，計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分，其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個頂點H、G分別在邊AB、AC上．現計劃在△AHG上種花，每平方米投資12元；在△BHE、△FCG上都種草，每平方米投資8元；在矩形EFGH上興建愛心魚塘，每平方米投資5元，設矩形的一邊FG長為x米．
（1）用含x的式子表示矩形的一邊HG的長度；
（2）為了美觀，若要將愛心魚塘建成正方形，這個魚塘的邊長是多少？
（3）當種草的面積與種花的面積相等時，求FG的長；
（4）根據設計要求HG的長度不＜FG的長度，求當矩形EFGH的邊FG為多少米時，△ABC空地改造總投資最小？最小值為多少？

Answer 1

分析：（1）根據HG∥BC，判斷出△AHG∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例的性質解答；
（2）根據魚塘長寬相等列出方程解答；
（3）轉化為三角形的面積，利用三角形的面積公式列出方程解答；
（4）根據改造后的總投資與矩形EFGH的面積之間的關系列出函數關系式，轉化為二次函數最小值問題解答．

解答：解：（1）∵FG=x，則AK=80-x（1分）
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，
可得：

HG

120

=

80-x

80

，
∴HG=120-

3

2

x．

（2）若四邊形EFGH為正方形，則FG=HG，
即x=120-

3

2

x，解得x=48．
∴這個魚塘的邊長是48米時，建成正方形．

（3）∵BE+FC=120-（120-

3

2

x）=

3

2

x，
∴

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）=

1

2

×

3

2

x•x，解得x=40．
∴當FG的長為40米時，種草的面積和種花的面積相等．

（4）設改造后的總投資為W元，
W=

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）+

1

2

×

3

2

x•x•8+x（120-

3

2

x）•5=7.5x²-840x+57600，
∴當x=-

b

2a

=

840

2×7.5

=56時，W的值最小．
因為根據設計要求HG≥FG，即120-

3

2

x≥x，x≤48，
∴當x=48時，W_最小=7.5×48²-840×48+57600=34560．
∴當矩形EFGH的邊FG長為48米時，空地改造的總投資最小，最小值為34560元．（12分）

點評：此題是一道綜合性應用題，涉及三角形面積、四邊形面積、二次函數最值等問題，難度較大．