Question

【題目】如圖，AB 是⊙O 的直徑，點C 是⊙O 上一點，AD 與過點C的切線垂直,垂足為 D，直線 DC 與AB 的延長線相交于點P，弦CE 平分∠ACB，交AB 于點F，連接BE．

求證：(1)AC 平分∠DAB；

(2)△PCF 是等腰三角形．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：

（1）由已知條件證AD∥OC可得∠DAC=∠ACO；由OA=OC可得∠ACO=∠CAO；兩者結合可得∠DAC=∠CAO，從而可得AC平分∠DAB；

（2）由AD⊥DC，AB 是⊙O 的直徑，可得∠ADC=∠ACB=90°，從而可得∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠PCB=90°，這樣可得∠DAC=∠PCB=∠CAO；由CE平分∠ACB可得∠ACF=∠BCF，這樣可得∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，結合三角形外角性質可證得：∠PCF=∠PFC，從而可得PC=PF，就可得△PCF是等腰三角形.

試題解析：

（1）∵ PD 切⊙O 于點C，

∴OC⊥PD，

又AD⊥PD，

∴OC∥AD，

∴∠ACO＝∠DAC，

又OC＝OA，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO，

即AC 平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，

∴∠DAC＋∠ACD＝90°，

又AB 為⊙O 的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB，

又∠DAC＝∠CAO，

∴∠CAO＝∠PCB，

∵CE 平分∠ACB，

∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF,

∴∠PFC＝∠PCF，

∴△PCF 是等腰三角形．