Question

【題目】實數k取何值時，一元二次方程x2－(2k－3)x＋2k－4＝0：

(1)有兩個正根；

(2)有兩個異號根，并且正根的絕對值較大；

(3)一根大于3，一根小于3.

Answer 1

【答案】(1)見解析。（2）見解析，（3）見解析。

【解析】

根據一元二次方程根與系數的關系，即韋達定理進行作答.（1）有兩個正根時，x1＞0，x2＞0，即x1＋x2,x1x2.由此得到k的取值.（2）有兩個異號根，并且正根的絕對值較大，即x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|.即x1＋x2,x1x2.由此得到k的取值.（3）一根大于3，一根小于3時，即x1＞3，x2＜3. 則k應滿足條件：(x1－3)(x2－3)＜0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0. 由此得到k的取值.

解：∵Δ＝[－(2k－3)]2－4(2k－4)＝4k2－20k＋25＝(2k－5)2≥0，∴k取任何實數，方程都有兩個實數根．設該方程的兩根為x1，x2，則由韋達定理，得x1＋x2＝2k－3，x1x2＝2k－4.

(1)若使x1＞0，x2＞0，則k應滿足條件：解得,∴當k＞2時，方程有兩個正根．

(2)若使x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|，則k應滿足條件：解得,∴當＜k＜2時，兩根異號，且正根的絕對值較大．

(3)若使x1＞3，x2＜3，則k應滿足條件：(x1－3)(x2－3)＜0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0.∴2k－4－3(2k－3)＋9＜0，k＞.∴當k＞時，方程一根大于3，另一根小于3.