Question

【題目】如圖，某二次函數(shù)的圖象是一條頂點(diǎn)為P(4．-4)的拋物線，它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)A，它的對(duì)稱軸交線段

OA于點(diǎn)M．點(diǎn)N在對(duì)移軸上，且點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接AN，ON

（1）求此二次函數(shù)的解析式：

（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(6，-3)．，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)

（3）若點(diǎn)A在拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，則∠ANM與∠ONM有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-4）2-4；（2）4；（3）∠ANM=∠ONM，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)的關(guān)系式，再很據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求出a的值，即可得出二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，將A點(diǎn)代入，求出直線OA的解析式，再把x=4代入y=-x，求出M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，求出N的坐標(biāo)，從而得出MN的長(zhǎng)；

（3）過(guò)A作AH垂直于直線l，直線l與x軸交于點(diǎn)D，由A在二次函數(shù)圖象上，設(shè)A橫坐標(biāo)為m，將x=m代入二次函數(shù)解析式，表示出縱坐標(biāo)，確定出A的坐標(biāo)，再由O的坐標(biāo)，表示出直線AO的解析式，進(jìn)而表示出M，N及H的坐標(biāo)，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ANM，化簡(jiǎn)后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得證．

解：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P（4，-4），

∴設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x-4）2-4，

又∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），

∴0=a（0-4）2-4，

解得a=，

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=（x-4）2-4；

（2）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，將A（6，-3）代入得-3=6k，解得k=-，

∴直線OA的解析式為y=-x，

把x=4代入y=-x得y=-2，

∴M的坐標(biāo)是（4，-2），

又∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，

∴N的坐標(biāo)是（4，-6），

∴MN=4，

（3）過(guò)A作AH⊥l于H，l與x軸交于點(diǎn)D，如圖所示：

設(shè)A（m，m2-2m），又O（0，0），

∴直線AO的解析式為y=

則M（4，m-8），N（4，-m），H（4，m2-2m），

∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=m2-m，

在Rt△OND中，tan∠ONM=，

在Rt△ANH中，tan∠ANM=

∴tan∠ONM=tan∠ANM，

則∠ANM=∠ONM．