Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，在中，，，，則的周長為_________；

問題探究

（2）如圖②，四邊形中，，，，求四邊形的面積；

問題解決．

（3）如圖③，某農(nóng)業(yè)技術(shù)中心為新品種試驗而修建了形狀為四邊形的試驗田，、、是田間小路，點在上，點在上，，，，其中道路的長度為100米，計劃在四個三角形區(qū)域內(nèi)種植不同的農(nóng)作物，為及時了解農(nóng)作物的生長情況，中心決定在點、處各架設(shè)監(jiān)控器一臺，處的監(jiān)控器的觀察范圍為，處的監(jiān)控器的觀察范圍為，經(jīng)測量，，，請?zhí)骄克倪呅?/span>區(qū)域的面積是否存在最小值，若存在，請求出它的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）32：（3）

【解析】

（1）過點A作AD⊥BC，將問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，通過解直角三角形即可求出三角形三邊的長，從而得出三角形的周長.

（2）通過將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAD1，構(gòu)造出全等三角形，將求不規(guī)則四邊形面積的問題轉(zhuǎn)化成三角形面積問題.

（3）通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造△ABD≌△CBD1，作DH⊥BD1，得出DH的長，求出△BDD1的面積，根據(jù)已知條件求出∠BCD1=135°，推出當△DCD1的面積最大時，四邊形BEDF的面積最小，而當C位于的中點時，CM最大，即△DCD1的面積最大，根據(jù)勾股定理求出OD=OC=OD1= 20m及CM=(20-20)m，從而得出△DCD1的面積，最后求出四邊形的面積.

解：（1）過點A作AD⊥BC于D

∴∠ADC=90°

∵∠C=45°，AC=3

∴AD2+DC2=(3)2，

∵∠C=45

∴AD=DC=3

∵∠B=60°

∴BD=，AB=

∴的周長=AB+BD+DC+AC=2++3+3=

（2）

如圖，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，C點落在A點上，D點落在D1上

∴△BAD1≌△BCD

∴∠BAD1=∠C

∵∠BAD1+∠BAD=∠C+∠BAD=360-∠ADC-∠ABC=180°

∴D1，A，D三點共線

∵△BAD1≌△BCD

∴∠CBD=∠ABD1，BD1=BD=8

∴∠BAD1+∠ABD=∠BCD+∠ABD

即∠D1BD=∠ABC=90°

∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD

= S△ABD+

=

=BDBD1

=×8×8

=32.

（3）

將△ABD以點B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，使點A旋轉(zhuǎn)到點C，點D旋轉(zhuǎn)到D1，點E旋轉(zhuǎn)到點E1.

∴△ABD≌△CBD1

作DH⊥BD1，則BD=BD1=100m，∠ABC=∠DBD1

∵sin∠ABC=sin∠DBD1=0.8

∴DH=80m

∴=4000m

∵

∴∠A+∠BCD=225°

∴∠BCD+∠BCD1=225°

∴∠BCD1=135°

當△DCD1的面積最大時，四邊形BEDF的面積最小

∵△BDE≌△BD1E1

又DD1==40m

以DD1為弦，以DD1為底邊的等腰直角三角形的頂點O為圓心畫弧DD1，

DD1上任意一點和DD1構(gòu)成的圓周角都是135°

∴當C位于的中點時，CM最大，即△DCD1的面積最大

∵△ODD1為等腰直角三角形，DD1=40m

∴OD==20m

即OD=OC=OD1= 20m

∴CM=(20-20)m

∴=×40×(20-20)=(2000-2000)m2

∴S四邊形BEDF=×[4000-(2000-2000)]=( )m2

故答案為（1）；（2）32；（3）