Question

【題目】如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．

（1）求證：AE＝CD；

（2）求證：AE⊥CD；

（3）連接BM，有以下兩個結論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有　 　（請寫序號，少選、錯選均不得分）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）②.

【解析】

（1）欲證明AE=CD，只要證明△ABE≌△CBD；

（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE=∠BCD，由∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB，又∠CNM=∠ABC，∠ABC=90°，可得∠NMC=90°；

（3）結論：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分線的判定定理證明即可.

（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，

∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，

即∠ABE=∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD，

∴AE=CD．

（2）∵△ABE≌△CBD，

∴∠BAE=∠BCD，

∵∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB，

又∠CNM=∠ABC，

∵∠ABC=90°，

∴∠NMC=90°，

∴AE⊥CD．

（3）結論：②

理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．

∵△ABE≌△CBD，

∴AE=CD，S△ABE=S△CDB，

∴AEBK=CDBJ，

∴BK=BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，

∴BM平分∠AMD．

不妨設①成立，則△ABM≌△DBM，則AB=BD，顯然可不能，故①錯誤．

故答案為②．