Question

【題目】如果一個正整數能表示為兩個連續奇數的平方差，那么稱這個正整數為“奇特數”．例如：

，，；則、、這三個數都是奇特數．

（1）和這兩個數是奇特數嗎？若是，表示成兩個連續奇數的平方差形式．

（2）設兩個連續奇數是和（其中取正整數），由這兩個連續奇數構造的奇特數是的倍數嗎？為什么？

Answer 1

【答案】(1)32是奇特數，32=92-72，2012不是奇特數；(2)兩個連續奇數構造的奇特數是8的倍數，理由見解析.

【解析】

(1)根據32=92-72，以及8、16、24這三個數都是奇特數，他們都是8的倍數，進行判斷；

(2)利用平方差公式計算(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n，得到兩個連續奇數構造的奇特數是8的倍數．

解：(1)∵32=92-72，

∴32是奇特數；

∵8、16、24這三個數都是奇特數，他們都是8的倍數，2012不是8的倍數，

∴2012這個數不是奇特數；

(2)兩個連續奇數構造的奇特數是8的倍數，理由如下：

(2n+1)2-(2n-1)2

=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)

=4n×2

=8n.

故答案為：(1)32是奇特數，32=92-72，2012不是奇特數；(2)兩個連續奇數構造的奇特數是8的倍數，理由見解析.