Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點D，過點B作BC的垂線，交對稱軸于點E．

（1）求證：點E與點D關于x軸對稱；

（2）點P為第四象限內的拋物線上的一動點，當△PAE的面積最大時，在對稱軸上找一點M，在y軸上找一點N，使得OM+MN+NP最小，求此時點M的坐標及OM+MN+NP的最小值；

（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點D在射線AD上移動，點D平移后的對應點為D′，點A的對應點A′，設拋物線的對稱軸與x軸交于點F，將△FBC沿BC翻折，使點F落在點F′處，在平面內找一點G，若以F′、G、D′、A′為頂點的四邊形為菱形，求平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）， ，

【解析】試題分析：（1）首先求出A、B、C、D的坐標，再根據△EFB∽△BOC對應邊成比例得出方程，推出EF的長度，求出點E的坐標即可解決問題；

（2）過點P作PQ∥y軸，交直線AE于點Q．構建 二次函數，利用二次函數的性質求出點P的坐標，作點O關于對稱軸的對稱點O′，作點P關于Y軸的對稱點P′，連接O′P′，分別交對稱軸、y軸于點M、N，此時M、N即為所求；

（3）由題意得F，A，D三點的坐標，設平移距離為 t，則得出A′，D′的坐標，可得A′F2，D′F′2，，A′D′2的長度，然后分三種情形：①當A′F2=D′F′2時，②當A′F′2=A′D′2時，③當D′F′2=A′D′2時列出方程即可解決問題．

試題解析：解：（1）如圖1中，令y=0，得到x2﹣x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣ ，0），B（3 ，0）．

令x=0，可得y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

∵y= x2﹣ x﹣3=（x﹣ ）2﹣4，∴頂點D（ ，﹣4），設對稱軸與x軸交于F，則BF=2 ．

∵△EFB∽△BOC，∴ EF：OB=BF：OC，∴ ，∴EF=4，∴E（ ，4），∴E、D關于x軸對稱；

（2）過點P作PQ∥y軸，交直線AE于點Q．

∵yAE= x+2，∴設P（a， a2﹣a﹣3），Q（a， a+2），（0＜a＜3），∴PQ=（a+2）﹣（a2﹣a﹣3）=﹣a2+2 a+5，∴S△PAE= PQ|xE﹣xA|= （﹣a2+2a+5）2=﹣a2+4a+5，∴當a= =2時，S△PAE最大，此時P（2，﹣3）．

作點O關于對稱軸的對稱點O′（2，0），作點P關于Y軸的對稱點P′（﹣2，﹣3）．連接O′P′，分別交對稱軸、y軸于點M、N，此時M、N即為所求．

∴yP′O′=x﹣，當x=時，y=﹣，∴M（，﹣），∴OM+MN+NP的最小值O′P′== ；

（3）∵F′（，﹣），A（﹣+t，﹣2t），D（，﹣4），

設平移距離為 t，則A′（﹣ + t，﹣2t），D′（ +t，﹣4﹣2t），

A′F2=6t2﹣24t+，D′F′2=6t2+，A′D′2=24，

①當A′F2=D′F′2時，6t2﹣24t+ =6t2+，解得t=1．

②當A′F′2=A′D′2時，6t2﹣24t+ =24，解得t=．

③當D′F′2=A′D′2時，24=6t2+ ，解得t=或﹣（舍棄），

∴平移的距離t= ， ， ．