Question

【題目】以△ABC的三邊為邊在BC的同一側作等邊△ABP，等邊△ACQ，等邊△BCR．

（1）四邊形QRPA是平行四邊形嗎？若是，請證明；若不是，請說明理由．

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形QRPA是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形QRPA是平行四邊形，理由詳見解析；（2）當∠BAC＝150°時，四邊形QRPA是矩形，理由詳見解析

【解析】

（1）由“SAS”可證△BRP≌△BCA，△CAB≌△CQR，可得PR＝AC，AB＝RQ，可得RP＝AQ，AP＝RQ，可得結論；

（2）當∠BAC＝150時，由周角的性質可求∠PAQ＝90，可證平行四邊形QRPA是矩形．

證明：（1）四邊形QRPA是平行四邊形

理由如下：∵等邊△ABP，等邊△ACQ，等邊△BCR，

∴AB＝PB，BC＝BR＝CR，AC＝CQ，∠PBA＝∠RBC＝∠BCR＝∠ACQ＝60，

∴∠PBR＝∠ABC，∠ACB＝∠QCR，

∴△BRP≌△BCA（SAS），

∴PR＝AC，

∵BC＝RC，∠BCA＝∠RCQ，AC＝CQ，

∴△CAB≌△CQR（SAS）

∴AB＝RQ，

∴RP＝AQ，AP＝RQ，

∴四邊形QRPA是平行四邊形；

（2）當∠BAC＝150時，四邊形QRPA是矩形，

∵∠PAQ+∠BAP+∠CAQ+∠BAC＝360，

∴∠PAQ＝360﹣60﹣60﹣150＝90，

∴平行四邊形QRPA是矩形．