Question

【題目】圖中是一副三角板，45°的三角板 Rt△DEF 的直角頂點 D 恰好在 30°的三角板 Rt△ABC 斜邊 AB 的中點處，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB＝90°，DE 交 AC 于點 G，GM⊥AB 于 M．

（1）如圖①，當 DF 經過點 C 時，作 CN⊥AB 于 N，求證：AM＝DN；

（2）如圖②，當 DF∥AC 時，DF 交 BC 于 H，作 HN⊥AB 于 N，（1）的結論仍然成立，請你說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

根據題干可推知,本題主要考查了特殊三角形的判定及性質.

(1)根據指教三角形斜邊的中線的性質,先證出△BCD是等邊三角形，再利用等腰三角形三線合一的定理，可得出DN=BD，∠ADG=30°, 那么△ADG是等腰三角形，可得出AM=AD,所以可證出AM=DN;

(2)根據全等三角形的判定定理及性質定理,先證△ADG≌△DBH,在此基礎上再證△AGM≌△DHN,從而得出AM=DN.

(1)證明:∵∠ACB= 90°，D是AB的中點，

∴CD= AD= BD

又∵∠B=90°-∠A=60°,

∴△BCD是等邊三角形,

又∵CN⊥DB，

∴DN=BD,

∵∠EDF=90°，△BCD是等邊三角形，

∴∠ADG= 30°,而∠A = 30°,

∴GA = GD,

∵GM⊥AB，

∴AM=AD;

又∵AD=DB，

∴AM = DN.

故AM = DN得證.

(2) (1)的結論仍然成立，理由如下

∵DF//AC,

∴∠1=∠A =30°,∠AGD=∠GDH =90°,

∴∠ADG = 60°.

∵∠B=60° ,AD= DB,

∴△ADG≌△DBH,

∴ AG= DH.

又∵∠1= ∠A, GM⊥AB , HN⊥AB,

∴△AMG≌△DNH，

∴ AM= DN.

故(1)的結論仍然成立.