Question

【題目】△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．
（1）如圖1，

求證：DECD=DFBE
（2）D為BC中點如圖2，

連接EF．
①求證：ED平分∠BEF；
②若四邊形AEDF為菱形，求∠BAC的度數及 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，

∴∠FDC=∠DEB，

∴△BDE∽△CFD，

∴ ，

即DECD=DFBE

（2）

解：①由（1）證得△BDE∽△CFD，

∴ ，

∵D為BC中點，

∴BD=CD，

∴ = ，

∵∠B=∠EDF，

∴△BDE∽△DEF，

∴∠BED=∠DEF，

∴ED平分∠BEF；②∵四邊形AEDF為菱形，

∴∠AEF=∠DEF，

∵∠BED=∠DEF，

∴∠AEF=60°，

∵AE=AF，

∴∠BAC=60°，

∵∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∴△BED是等邊三角形，

∴BE=DE，

∵AE=DE，

∴AE= AB，

∴ =

【解析】（1）先根據題意得出△BDE∽△CFD，再由相似三角形的性質即可得出結論；（2）①根據相似三角形的性質得到 ，推出△BDE∽△DEF，根據相似三角形的性質即可得到結論；②由四邊形AEDF為菱形，得到∠AEF=∠DEF，于是得到∠AEF=60°，推出△ABC是等邊三角形，△BED是等邊三角形，得到BE=DE，即可得到結論．