Question

【題目】探究題
問題再現：
數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．
例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．
證明：將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1：

這個圖形的面積可以表示成：
（a+b）2或a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
這就驗證了兩數和的完全平方公式．
（1）類比解決：
請你類比上述方法，利用圖形的幾何意義證明平方差公式．（要求畫出圖形并寫出推理過程）
（2）問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：13+23=32？
如圖2，

A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
嘗試解決：
請你類比上述推導過程，利用圖形的幾何意義確定：13+23+33= ． （要求寫出結論并構造圖形寫出推證過程）．
（3）問題拓廣：
請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3= ． （直接寫出結論即可，不必寫出解題過程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵如圖，左圖的陰影部分的面積是a2﹣b2，

右圖的陰影部分的面積是（a+b）（a﹣b），

∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），

這就驗證了平方差公式；

（2）如圖，A表示1個1×1的正方形，即1×1×1=13；
B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2=23；
G與H，E與F可以表示3個3×3的正方形，即3×3×3=33；
而整個圖形恰好可以拼成一個（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；
故答案為：62；
（3）解：[ n（n+1）]2
【解析】（3）由上面表示幾何圖形的面積探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2 ，
又∵1+2+3+…+n= n（n+1），
∴13+23+33+…+n3=[ n（n+1）]2 ．
所以答案是：[ n（n+1）]2 ．