Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點F，過點C作CE∥AB，與過點A的切線相交于點E，連接AD．

（1）求證：AD=AE；

（2）若AB=6，AC=4，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）利用平行線的性質，圓的性質和等腰三角形的性質，證明△AEC和△ADC全等即可證明AD=AE，

（2）設AE=AD=x，CE=CD=y，利用勾股定理列出關于x和y的等式，即可求出AE的長．

（1）證明：∵AE與⊙O相切，AB是⊙O的直徑，

∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，

∵CE∥AB，

∴∠E=90°，

∴∠E=∠ADB，

∵在△ABC中，AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，

∴∠BAC=∠ACE，

∴∠BCA=∠ACE，

又∵AC=AC，

∴△ADC≌△AEC（AAS），

∴AD=AE；

（2）解：設AE=AD=x，CE=CD=y，

則BD=（6﹣y），

∵△AEC和△ADB為直角三角形，

∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，

AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入，

解得：x=，y=，

即AE的長為．