Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為r（r＞0）．給出如下定義：若平面上一點P到圓心O的距離d，滿足，則稱點P為⊙O的“隨心點”．

（1）當⊙O的半徑r=2時，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“隨心點”是 ；

（2）若點E（4，3）是⊙O的“隨心點”，求⊙O的半徑r的取值范圍；

（3）當⊙O的半徑r=2時，直線y=- x+b（b≠0）與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段MN上存在⊙O的“隨心點”，直接寫出b的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】(1) A,C ；（2）；(3) 1≤b≤或-≤b≤-1．

【解析】

（1）根據已知條件求出d的范圍：1≤d≤3，再將各點距離O點的距離，進行判斷是否在此范圍內即可，滿足條件的即為隨心點；

（2）根據點E（4，3）是⊙O的“隨心點”，可根據，求出d=5，再求出r的范圍即可；

（3）如圖a∥b∥c∥d，⊙O的半徑r=2，求出隨心點范圍，再分情況點N在y軸正半軸時，當點N在y軸負半軸時，分情況討論即可.

(1) ∵⊙O的半徑r=2，
∴=3，=1

∴1≤d≤3

∵A（3，0），
∴OA=3，在范圍內
∴點A是⊙O的“隨心點”

∵B（0，4）

∴OB=4，而4＞3，不在范圍內

∴B是不是⊙O的“隨心點”，
∵C（，2），
∴OC=，在范圍內
∴點C是⊙O的“隨心點”，
∵D（，），
∴OD=＜1，不在范圍內
∴點D不是⊙O的“隨心點”，
故答案為：A,C

（2）∵點E（4，3）是⊙O的“隨心點”

∴OE=5，即d=5

若， ∴r=10

若 ，

∴

(3)

∵如圖a∥b∥c∥d，⊙O的半徑r=2，隨心點范圍

∴

∵直線MN的解析式為y=x+b，
∴OM=ON，
①點N在y軸正半軸時，
當點M是⊙O的“隨心點”，此時，點M（-1，0），
將M（-1，0）代入直線MN的解析式y=x+b中，解得，b=1，
即：b的最小值為1，
過點O作OG⊥M'N'于G，
當點G是⊙O的“隨心點”時，此時OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO=3

∴在Rt△GNN’中，===，
b的最大值為，
∴1≤b≤，
②當點N在y軸負半軸時，同①的方法得出-≤b≤-1．
綜上所述，b的取值范圍是：1≤b≤或-≤b≤-1．