Question

【題目】（本題滿分10分）如圖，BD是⊙O的直徑，點A是劣弧BC的中點，DF是⊙O的切線交BC于點F，AD交BC于點E．

（1）求證：EF=DF；

（2）若AE=2，ED=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）如圖1所示：連接CD．

∵點A是劣弧BC的中點，

∴弧長AB=弧長AC．

∴∠ADB=∠ADC．

∵BD是圓O的直徑，

∴∠DCB=90°．

∴∠CED+∠EDC=90°．

∵DF是圓O的切線，

∴∠BDF=90°．

∴∠EDF+∠BDE=90°．

∴∠FED=∠EDF．

∴EF=DF．

（2）如圖2所示：連接AB．

∵點A是劣弧BC的中點，

∴弧長AB=弧長AC．

∴∠ADB=∠ABC．

又∵∠A=∠A，

∴△ABE∽△ADB．

∴AB2=AEAD．

∴AB=2．

∵BD是圓O的直徑，

∴∠DAB=90°．

∴tan∠BDA=tan∠ABC=．

∴∠BDA=∠ABC=30°．

∴BD=2AB=4，∠DBF=30°．

∴EF=DF=DB×=4．