Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC為⊙O 的弦，OD⊥AB，OD與AC的延長線交于點D，點E在OD上，且∠ECD=∠B.

(1)求證：EC是⊙O的切線；

(2)若OA=3，AC=2，求線段CD的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CD＝7

【解析】

(1) 由AB是直徑得∠ACB=90°，連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠B=∠BCO，所以∠ACO+∠B＝90°，由∠ECD=∠B得∠ECD+∠ACO＝90°，于是得到結論；

（2）根據題意得cosA＝，在Rt△ADO中，根據cosA＝即可得解.

（1）連接OC

∵AB是直徑

∴∠ACO+∠BCO＝90°

∵OB＝OC

∴∠B＝∠BCO

∴∠ACO+∠B＝90°

∵∠ECD＝∠B

∴∠ECD+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°

∴CE是⊙O的切線.

（2）∵OA＝3，∠BCA＝90°，AC＝2

∴AB＝6，cosA＝＝

又OD⊥AB，

∴cosA＝＝＝，

解得：CD＝7