Question

【題目】如圖1所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，∠DCB=75，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點E在邊AB上．

(1)求∠AED的度數；

(2)連接AC，如圖2所示，試判斷△ABC的形狀；

(3)如圖3所示，若F為線段CD上一點，AB=4，∠FBC=30，求DF的長．

Answer 1

【答案】(1) 45°；(2)△ABC的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；(3)

【解析】

(1)根據直線平行的性質得到∠ADC的度數，再根據等邊三角形的性質和AB⊥BC即可得到答案；

(2)先證A在線段DE的垂直平分線上，再證明點C也在線段DE的垂直平分線上，最后得到BA=BC，即可得到△ABC的形狀；

(3) 連接AF，BF、AD的延長線交于點G，證△BCF≌△GDF（ASA）得到DF=CF，再根據三角函數值計算即可得到答案；

解：(1)∵∠DCB=75，AD∥BC，

∴∠ADC=180°-75°=105°（兩直線平行，同旁內角互補），

又∵△DCE是等邊三角形，

∴∠CDE=60°，

故∠ADE=105°-60°=45°，

又∵AD∥BC， AB⊥BC，

∴∠DAB=90°，

∴∠AED=180°-90°-45°=45°；

(2) 由(1)知∠AED=45°，

∴AD=AE，

故點A在線段DE的垂直平分線上，

又∵△DCE是等邊三角形，

∴CD=CE，

故點C也在線段DE的垂直平分線上，

∴AC就是線段DE的垂直平分線，即AC⊥DE，

∵∠AED=45°，

∴∠BAC=45°，

又∵AB⊥BC，

∴BA=BC，

故△ABC的是等腰直角三角形；
(3) 連接AF，BF、AD的延長線交于點G，如下圖：

∵∠FBC=30，∠DCB=75，

∴∠BFC=75°，

∴BC=BF，

又由(2)知BA=BC，

∴BF=BC（等量替換），

∴∠ABF=90°－30°=60°，

∴AB=BF=FA，

又∵AD∥BC， AB⊥BC，

∴∠FAG=∠G=30°，

∴FG=FA=FB，

∵∠G=∠FBC=30°，∠DFG=∠CFB，FB=FG，

∴△BCF≌△GDF（ASA），

∴DF=CF，

又∵根據題意得:，

我們知道，

∴，

∴DF=；