Question

【題目】已知二次函數，其中a＞0．

（1）若方程有兩個實根，且方程有兩個相等的實根，求二次函數的解析式；

（2）若二次函數的圖象與x軸交于兩點，且當時，恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的解析式為；（2）實數m的取值范圍為．

【解析】

（1）先分別根據一元二次方程的根的定義、根的判別式列出等式求出a、b、c的值，由此即可得出答案；

（2）先得出二次函數的表達式，再求出其對稱軸，然后根據二次函數的增減性、對稱軸分三種情況討論，分別列出不等式（或不等式組）求解即可得．

（1）由題意得

由②①得，解得

將代入①得，解得

將，代入③得

整理得

解得或（不符題意，舍去）

則，

故二次函數的解析式為；

（2）由題意得：是方程的兩個根

則，

解得，

因此，二次函數的解析式為

此二次函數的對稱軸為，開口方向向上；當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x增大而增大

分以下三種情況：

①當，即時

此時，在時，y隨x的增大而減小

要使當時，恒成立，則當時，y的值小于或等于0

即

解得

則

②當，即時

此時，在時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大

要使當時，恒成立，則當和時，y的值小于或等于0

即

解得

則

③當，即時

此時，在時，y隨x的增大而增大

要使當時，恒成立，則當時，y的值小于或等于0

即

解得

則

綜上，實數m的取值范圍為．