Question

【題目】在平面直角坐標系中，規定：拋物線的伴隨直線為．例如：拋物線的伴隨直線為，即y=2x﹣1．

（1）在上面規定下，拋物線的頂點坐標為　 　，伴隨直線為　 　，拋物線與其伴隨直線的交點坐標為　 　和　 　；

（2）如圖，頂點在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點A，B（點A在點B的左側），與x軸交于點C，D．

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果點P（x，y）是直線BC上方拋物線上的一個動點，△PBC的面積記為S，當S取得最大值時，求m的值．

Answer 1

【答案】(1)(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)；）（2）①m=- ; ②m=-2

【解析】試題分析：(1)、由拋物線的頂點式可求得其頂點坐標，由伴隨直線的定義可求得伴隨直線的解析式，聯立伴隨直線和拋物線解析式可求得其交點坐標；(2)、①、可先用m表示出A、B、C、D的坐標，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到關于m的方程，可求得m的值；②、由B、C的坐標可求得直線BC的解析式，過P作x軸的垂線交BC于點Q，則可用x表示出PQ的長，進一步表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可得到m的方程，可求得m的值．

試題解析：(1)、(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)

(2)、①因為拋物線解析式為，所以其伴隨直線為，即。

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得：，解得或，所以，，

在中，令可計算出或，所以，，

即，，，

若，則，即，

解得：（拋物線開口向下，舍去），，

所以當時，；

②設直線的解析式為，如圖過作軸的垂線交于點，如圖所示：

因為點的橫坐標為，所以，，因為是直線上方拋物線上的一個動點，

所以，

所以，。

當時，的值有最大值，所以取得最大值時，即，計算得出．