Question

【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線 （k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．

（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點E是AB的中點，OA=2，AB=4，

∴點E的坐標為（2，2），

將點E的坐標代入y= ，可得k=4，

即反比例函數解析式為：y= ，

∵點F的橫坐標為4，

∴點F的縱坐標= =1，

故點F的坐標為（4，1）

（2）

解：由折疊的性質可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，

∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，

∴∠CDF=∠GED，

又∵∠EGD=∠DCF=90°，

∴△EGD∽△DCF，

結合圖形可設點E坐標為（ ，2），點F坐標為（4， ），

則CF= ，BF=DF=2﹣ ，ED=BE=AB﹣AE=4﹣ ，

在Rt△CDF中，CD= = = ，

∵ ，即 = ，

∴ =1，

解得：k=3

【解析】（1）根據點E是AB中點，可求出點E的坐標，將點E的坐標代入反比例函數解析式可求出k的值，再由點F的橫坐標為4，可求出點F的縱坐標，繼而得出答案；（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設點E坐標為（ ，2），點F坐標為（4， ），即可得CF= ，BF=DF=2﹣ ，在Rt△CDF中表示出CD，利用對應邊成比例可求出k的值．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．