Question

【題目】如圖，拋物線y1=x2﹣1交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y2 ， 兩條拋物線相交于點C．

（1）請直接寫出拋物線y2的解析式；
（2）若點P是x軸上一動點，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點坐標；
（3）在第四象限內拋物線y2上，是否存在點Q，使得△QOC中OC邊上的高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y1=x2﹣1向右平移4個單位的頂點坐標為（4，﹣1），

所以，拋物線y2的解析式為y2=（x﹣4）2﹣1

（2）

解：x=0時，y=﹣1，

y=0時，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，

所以，點A（1，0），B（0，﹣1），

∴∠OBA=45°，

聯立 ，

解得 ，

∴點C的坐標為（2，3），

∵∠CPA=∠OBA，

∴點P在點A的左邊時，坐標為（﹣1，0），

在點A的右邊時，坐標為（5，0），

所以，點P的坐標為（﹣1，0）或（5，0）

（3）

解：存在．

∵點C（2，3），

∴直線OC的解析式為y= x，

設與OC平行的直線y= x+b，

聯立 ，

消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，

當△=0，方程有兩個相等的實數根時，△QOC中OC邊上的高h有最大值，

此時x1=x2= ×（﹣ ）= ，

此時y=（ ﹣4）2﹣1=﹣ ，

∴存在第四象限的點Q（ ，﹣ ），使得△QOC中OC邊上的高h有最大值，

此時△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，

解得b=﹣ ，

∴過點Q與OC平行的直線解析式為y= x﹣ ，

令y=0，則 x﹣ =0，解得x= ，

設直線與x軸的交點為E，則E（ ，0），

過點C作CD⊥x軸于D，根據勾股定理，OC= = ，

則sin∠COD= = ，

解得h最大= × = ．

【解析】（1）寫出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式解析式寫出即可；（2）根據拋物線解析式求出點A、B的坐標，然后求出∠OBA=45°，再聯立兩拋物線解析式求出交點C的坐標，再根據∠CPA=∠OBA分點P在點A的左邊和右邊兩種情況求解；（3）先求出直線OC的解析式為y= x，設與OC平行的直線y= x+b，與拋物線y2聯立消掉y得到關于x的一元二次方程，再根據與OC的距離最大時方程有且只有一個根，然后利用根的判別式△=0列式求出b的值，從而得到直線的解析式，再求出與x軸的交點E的坐標，得到OE的長度，再過點C作CD⊥x軸于D，然后根據∠COD的正弦值求解即可得到h的值．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�