Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2-6ax+6(a≠0)與x軸交于點A(8,0)，與y軸交于點B，在X軸上有一動點E(m,0)(0＜m＜8)，過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P,過點P作PM⊥AB于點M．

（）分別求出直線AB和拋物線的函數表達式；

（）設△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2=36：25，求m的值；

（）如圖2，在（）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE＇，旋轉角為α(0°＜α＜90°)，連接E＇A、E＇B．

①在x軸上找一點Q，使△OQE＇∽△OE＇A，并求出Q點的坐標；

②求BE＇+AE＇的最小值．

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）4；（3）①，②．

【解析】分析：（1）把點A（8，0）代入拋物線y=ax-6ax+6，可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式，然后求得點A和點B的坐標，最后利用待定系數法可求得直線AB的解析式；

（2）E（m，0），則N（m，-m+6），P（m， +6），然后證明△ANE∽△ABO，依據相似三角形的性質可求得AN的長，接下來，再證明△NMP∽△NEA，然后依據相似三角形的性質可得到，從而可求得PM=12-m，然后依據PM=m+3m，然后列出關于m的方程求解即可；

（3）①在（2）的條件下，m=4，則OE′=OE=4，然后再證明△OQE′∽△OE′A，依據相似三角形的性質可得到，從而可求得OQ的值，于是可得到點Q的坐標；

②由①可知，當Q為（2，0）時，△OQE′∽△OE′A，且相似比為，于是得到BE′+AE′=BE′+QE′，當點B、Q、E′在一條直線上時，BE′+QE′最小，最小值為BQ的長．

本題解析：

（）把點代入拋物線

得，

∴， ，

∴與軸交點，令，

得，

∴．

設為過， ，

∴，

∴．

（）∵過作軸垂線交于，交拋物線于，

∵，

∴， ，

∵，

∴，

∴，∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，∴，

∵，

∴

，

，

，

， ，

∵，

∴．

（）①在（）的條件下， ，∴，

設，∵旋轉，∴，

若，

則，

∵，

∴，

∴，∴，

∴．

②由①可知，當為時，

，且相似比為，

∴，

∴，

∴當旋轉到所在直線上時， 最小，即為長度，

∵， ，

∴，

∴的最小值為．