Question

【題目】（本題滿分12分）如圖，平行四邊形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，點P從O沿OB邊向點B移動，點Q從點B沿BC邊向點C移動，P，Q同時出發，速度都是1cm/s．

（1）求經過O，B，D三點的拋物線的解析式；

（2）判斷P，Q移動幾秒時，△PBQ為等腰三角形；

（3）若允許P點越過B點在BC上運動，Q點越過C點在CD上運動，設線PQ與OB，BC，DC圍成的圖形面積為y（cm2），點P，Q的移動時間為t（s），請寫出y與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）過點D作DM⊥OB于M，

∵平行四邊形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，

∴OD=BC=6cm，

∴OM=DM=ODsin45°=6×=3，

∴D（3，3），B（8，0），

設經過O，B，D三點的拋物線的解析式為：y=ax（x﹣8），

將D的坐標代入得：3=3a（3﹣8），

解得：a=﹣，∴y=﹣x（x﹣8）；

（2）∵∠PBQ=180°﹣∠DOB=135°，

∴若△PBQ為等腰三角形，則PB=BQ．

設P，Q移動t秒時，△PBQ為等腰三角形，

∴P點走過的路程為t，Q點走過的路程為t，

∴PB=OB﹣t=8﹣t（cm），BQ=tcm．若PB=BQ，則8﹣t=t，解得：t=4（s）．

∴P，Q移動4秒時，△PBQ為等腰三角形；

（3）如圖：過點D作DM⊥OB于M，過點P作PN⊥OB于N，交CD于H，

∵四邊形OBCD是平行四邊形，

∴CD=OB=8cm，BC=OD=6cm，CD∥OB，HN=DM=3cm，

∴PH⊥CD，△CPH∽△BPN，

∴，

由題意得：PC=14﹣t（cm），PB=t﹣8（cm），CQ=t﹣6（cm），

∴，

解得：PH=（14﹣t），

∴y=SOBCD﹣S△CPQ=8×3﹣（t﹣6）×（14﹣t）=t2﹣5t+45，

∵P點越過B點在BC上運動，Q點越過C點在CD上運動，

∴8＜t≤14，

∴y與t之間的函數關系式為y=t2﹣5t+45，t的取值范圍為8＜t≤14．