Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，點D是BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB邊于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當△AEF為直角三角形時，求BD的長。

Answer 1

【答案】當F點在線段BC上時，BD=1，當F點在線段BC的延長線上時，BD=2.

【解析】試題分析：首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的長、∠AEF與∠BAC的度數，然后分別從從∠AFE=90°與∠EAF=90°去分析求解，又由折疊的性質與三角函數的知識，即可求得CF的長，繼而求得答案．

試題解析：根據題意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，

∵DE⊥BC，

∴∠FED=90°∠EFD=60°,∠BEF=2∠FED=120°，

∴∠AEF=180°∠BEF=60°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，

∴AC=BCtan∠B=3×=，∠BAC=60°，

如圖①若∠AFE=90°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，

∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠FAC=∠EFD=30°，

∴CF=ACtan∠FAC=×=1，

∴BD=DF= =1；

如圖②若∠EAF=90°，

則∠FAC=90°∠BAC=30°，

∴CF=ACtan∠FAC=×=1，

∴BD=DF==2，

∴△AEF為直角三角形時，BD的長為：1或2.