Question

【題目】（操作）如圖①，在矩形中，為對角線上一點（不與點重合），將沿射線方向平移到的位置，的對應點為．已知（不需要證明）．

（探究）過圖①中的點作交延長線于點，連接，其它條件不變，如圖②．求證：．

（拓展）將圖②中的沿翻折得到，連接，其它條件不變，如圖③．當最短時，若,，直接寫出的長和此時四邊形的周長．

Answer 1

【答案】探究：見解析；拓展： 四邊形的周長為

【解析】

探究：證明四邊形EGBC是平行四邊形，推出EG=BC，利用SAS證明三角形全等即可．

拓展：如圖3中，連接BD交AC于點O，作BK⊥AC于K，F′H⊥BC于H．由題意四邊形AGFC是平行四邊形，推出GF=AC=，由BF=BF′，可以假設BF=x，則BG=利用相似三角形的性質，求出BH，HF′，利用勾股定理求出GF′，再利用二次函數的性質，求出GF′的值最小時BF′的值，推出BF′= 此時點F′與O重合，由此即可解決問題．

解：探究：由平移，

∴，即

又∵，∴四邊形為平行四邊形

∴

∵，∴∠CBF=∠ACB，

∵

∴∠AEG=∠ACB，

∴∠AEG=∠CBF

∴．

拓展：

如圖3中，連接BD交AC于點O，作BK⊥AC于K，F′H⊥BC于H．

∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AB=4，BC=2，

∴

∵

∴，

∴

由題意四邊形AGFC是平行四邊形， ∴GF=AC=，

∵BF=BF′，可以假設BF=x，則BG=

∵AC∥GF， ∴∠BOK=∠HBF′，

∵∠BKO=∠F′HB=90°，

∴△F′HB∽△BKO，

∴

∴

∴

∴

∵ ＞0，

∴當 時，GF′的值最小，

此時點F′與O重合，由對折得：

由矩形的性質得：

四邊形BFCF′是菱形，

四邊形BFCF′的周長為，

且與互相平分，

由勾股定理得：