Question

【題目】如圖，⊙O 的內接四邊形 ABCD 兩組對邊延長線分別交于點 E、F．

（1）若∠E=∠F，求證：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=40°，求∠A 的度數；

（3）若∠E=30°，∠F=40°，求∠A 的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）50°；（3）55°．

【解析】

（1）根據外角的性質即可得到結論；
（2）根據圓內接四邊形的性質和等量代換即可求得結果；
（3）連結EF，如圖，根據圓內接四邊形的性質得∠ECD=∠A，再根據三角形外角性質得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據三角形內角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，解方程即可．

（1）∠E=∠F，

∵∠DCE=∠BCF，

∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，

∴∠ADC=∠ABC；

（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，

∵∠EDC=∠ABC，

∴∠EDC=∠ADC，

∴∠ADC=90°，

∴∠A=90°﹣40°=50°；

（3）連結 EF，如圖，

∵四邊形 ABCD 為圓的內接四邊形，

∴∠ECD=∠A，

∵∠ECD=∠1+∠2，

∴∠A=∠1+∠2，

∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，

∴2∠A+30°+40°=180°，

∴∠A =55°．