Question

【題目】已知正方形內接于，點為上一點，連接、、．

(1)如圖1，求證:∠DEC+∠BEC= 180°；

(2)如圖2，過點C作CF⊥CE交BE于點F，連接AF， M為AE的中點，連接DM并延長交AF于點N，求證: DN⊥AF；

(3)如圖3，在(2) 的條件下，連接OM，若AB=10，求OM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）；

【解析】

（1）連接BD，OC，得出∠BEC=45°，由圓周角定理可得出結論
（2）延長ED至G，使ED=DG，連接AG，證明△BFC≌△DEC，可得出BF=DE，證明△ABF≌△ADG，則∠BAF=∠DAC，證明DM∥AG，得出∠DNF=∠FAG=90°，則可得出結論；
（3）連接BD，OC，過點B作BK⊥CF交CF的延長線于點K，過點B作BT⊥AE于點T，設DE=x，則BE=7x，得出BD=5x，求出x=2，求出BK=KF=，由tan∠BCF=tan∠DCE=，求出CF，可求出TB=7，AM=4，則可求出OM的長．

解：（1）證明:連接BD，OC，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠A=90°，BC= CD，

∴BD為⊙O的直徑，即∠DEB=90°，

∵OB= OD，

∴OC⊥BD，即∠BOC= 90°，

∴∠BEC=∠ BOC=45°，

∴∠DEC+∠BEC=∠DEB+∠BEC+∠BEC= 180°.

（2）證明:如圖，延長ED至G，使ED=DG，連接AG，

∵CE⊥CF，∴∠ECF=90°，

∵∠CEF=45°，

∴∠CEF=∠CFE=45°，

∴CE= CF，

∵∠BCD=∠ECF=90°，

∴∠BCF=∠DCE，

∵BC=CD，

∴△BFC≌ODEC (SAS)，即BF=DE ，

∵DE=DG，

∴BF=DG，

∵四邊形ABED為圓O的內接四邊形，

∴∠ABE+∠ADE= 180°,

∴∠ADE+∠ADG=180°，

∴∠ABE=∠ADG，

∵AB=AD，

∴△ABF≌OADG (SAS)， 即∠BAF=∠DAG，

∵∠BAF+∠FAD=∠BAD=90°，

∴∠DAG+∠FAD=90°，即∠FAG= 90°.

∵M為AE的中點，

∴DM為△AEG的中位線，即DM// AG,

∴∠DNF=∠FAG=90°，即DN⊥AF．

（3）解：如圖，連接BD，OC，過B作BK⊥CF的延長線于點K，

過點B作BT⊥AE于T，

由（1）知，則，

由（1）知BD為⊙O的直徑，

在中，，

∵，

∴，

∴，即，

設DE=x，則BE=7x，

在中，，

∴，即，

∴，即，

∵，

∴，

∴，即，

由（2）知，

∴，即，

∴，即，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，∴，

∴，即，

∵為的中點，∴，

在中，．