Question

【題目】已知，直線AB∥CD

（1）如圖1，點E在直線BD的左側，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的數量關系，并證明你的結論；

（2）如圖2，點E在直線BD的左側，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖3，點E在直線BD的右側，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）題中∠BFD和∠BED的數量關系的猜想是否仍成立？如果成立，請證明；如果不成立，請寫出你的猜想，并證明．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE+∠CDE=∠BED；（2）∠BED=2∠BFD；（3）2∠BFD+∠BED=360°．

【解析】分析：(1)首先過點E作EF∥AB,易證得∠1=∠ABE, ∠2=∠CDE,則可得.
(2)首先連接FE并延長,易得,又由BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE,以及(1)的結論,易證得∠BED=2∠BED;
(3)由,以及BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE與,即可證得結論.

本題解析：

（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．

證明：過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，

∴∠BED=∠1+∠2=∠ABE+∠CDE；

（2）∠BED=2∠BFD．

證明：連接FE并延長，

∵∠BEG=∠BFE+∠EBF，∠DEG=∠DFE+∠EDF，

∴∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF，

∵BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，

∴∠ABE+∠CDE=2（∠EBF+∠EDF），

∵∠BED=∠ABE+∠CDE，

∴∠EBF+∠EDF=∠BED，

∴∠BED=∠BFD+∠BED，

∴∠BED=2∠BFD；

（3）2∠BFD+∠BED=360°．

∵BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），

∵∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），

∴∠ABE+∠CDE=2∠BFD，

∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，

∴2∠BFD+∠BED=360°．