Question

【題目】在平面直角坐標系中（如圖），點為直線和雙曲線的一個交點，

（1）求、的值；

（2）若點，在直線上有一點，使得，請求出點的坐標；

（3）在雙曲線是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）k=-，m=-4；（2）點P的坐標為（4，-1）或（-12，3）；（3）M（，）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖1中，設直線y=-x與反比例函數y=-的另一個交點為C（4，-1）．由對稱性可知：OA=OC，推出當點P與C重合時，S△ABP=2S△ABO，此時P（4，-1）．當點P在OA的延長線上時，P′A=AC時，S△ABP=2S△ABO，再利用中點坐標公式求解即可．
（3）如圖2中，將OA繞點O順時針旋轉90°得到OA′，則A′（1.4），取AA′的中點D，作直線OD在第二象限交反比例函數于M．此時∠AOM=45°，求出直線OD的解析式，再構建方程組確定點M的坐標．

（1）∵點A（-4，1）在直線y=kx和雙曲線y=的圖象上，
∴k=-，m=-4．
（2）如圖1中，設直線y=-x與反比例函數y=-的另一個交點為C（4，-1）．

由對稱性可知：OA=OC，
∴當點P與C重合時，S△ABP=2S△ABO，此時P（4，-1）．
當點P在OA的延長線上時，P′A=AC時，S△ABP=2S△ABO，此時P′（-12，3），
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（4，-1）或（-12，3）．
（3）如圖2中，將OA繞點O順時針旋轉90°得到OA′，則A′（1.4），

取AA′的中點D，作直線OD在第二象限交反比例函數于M．此時∠AOM=45°，
∵D（-），
∴直線OD的解析式為y=-x，
由 ，解得 或 ，
∵點M在第二象限，
∴M（，）．