Question

【題目】（1）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D在斜邊AB上，點(diǎn)E在直角邊BC上，若∠CDE＝45°，求證：△ACD∽△BDE．

（2）如圖2所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝10cm，點(diǎn)E在BC上，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交CD（或CD的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)F．

①若BE：EC＝1：9，求CF的長(zhǎng)；

②若點(diǎn)F恰好與點(diǎn)D重合，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫出圖形，并求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①CF＝；②BE的長(zhǎng)為2cm或8cm

【解析】

（1）由等腰直角三角形性質(zhì)知∠A=∠B=45°、∠ACD+∠ADC=135°，根據(jù)∠CDE=45°知∠ADC+∠BDE=135°，據(jù)此得出∠BDE=∠ACD，從而得證；
（2）①由矩形的性質(zhì)及EF⊥AE知∠BAE+∠AEB=90°、∠CEF+∠BEA=90°，得出∠BAE=∠CEF，即可證△BAE∽△CEF得=，據(jù)此計(jì)算可得；
②設(shè)BE=xcm，由①得△BAE∽△CEF，據(jù)此知=，即=，解之即可.

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠ACD+∠ADC=135°，

∵∠CDE=45°，

∴∠ADC+∠BDE=135°，

∴∠BDE=∠ACD，

∴△ACD∽△BDE；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵∠AEF=90°，

∴∠CEF+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△BAE∽△CEF，

∴=，

∵BE：EC=1：9，

∴BE=BC=1cm，CE=9cm，

∴=，CF=；

②如圖所示，設(shè)BE=xcm，

由①得△BAE∽△CEF，

∴=，即=，

整理，得：x2﹣10x+16=0，

解得：x1=2，x2=8，

所以BE的長(zhǎng)為2cm或8cm．