Question

【題目】在ABCD中，AB＝BC＝9，∠BCD＝120°．點M從點A出發沿射線AB方向移動．同時點N從點B出發，以相同的速度沿射線BC方向移動，連接AN，CM，直線AN、CM相交于點P．

（1）如圖甲，當點M、N分別在邊AB、BC上時，

①求證：AN＝CM；

②連接MN，當△BMN是直角三角形時，求AM的值．

（2）當M、N分別在邊AB、BC的延長線上時，在圖乙中畫出點P，并直接寫出∠CPN的度數．

Answer 1

【答案】（1）①見解析②3或6（2）120°

【解析】

（1）①連接AC，先證△ABC是等邊三角形得AB＝CA＝9、∠B＝∠CAB＝60°，由BN＝AM證△ABN≌△CAM即可得；

②分∠MNB＝90°和∠NMB＝90°兩種情況，由∠B＝60°得出另一個銳角為30°，根據直角三角形中30°角所對邊等于斜邊的一半及AM＝BN求解可得；

（2）根據題意作出圖形，連接AC，先證△BAN≌△ACM得∠N＝∠M，由∠NCP＝∠MCB知∠CPN＝∠CBM，根據AB∥CD、∠BCD＝120°可得∠CPN＝∠CBM＝120°．

（1）①如圖1，連接AC，

在ABCD中，AB∥DC，

∴∠B＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，

又∵AB＝BC＝9，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB＝CA＝9，∠B＝∠CAB＝60°，

又∵BN＝AM，

∴△ABN≌△CAM（SAS），

∴AN＝CM；

②如圖2，

（Ⅰ）當∠MNB＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴∠BMN＝90°﹣60°＝30°，

∴BN＝BM，

又∵BN＝AM，

∴AM＝（9﹣AM），

∴AM＝3；

（Ⅱ）當∠NMB＝90°時，∠BNM＝90°﹣60°＝30°，

∴BM＝BN，

∴9﹣AM＝AM，

∴AM＝6；

綜上所述，當△BMN是直角三角形時，AM的值為3或6；

（2）如圖3所示，

點P即為所求；

∠CPN＝120°，

連接AC，

由（1）知△ABC是等邊三角形，

∴∠BAN＝∠CAM＝60°、AB＝CA，

又∵BN＝AM，

∴△BAN≌△ACM（SAS），

∴∠N＝∠M，

∵∠NCP＝∠MCB，

∴∠CPN＝∠CBM，

∵AB∥CD，∠BCD＝120°，

∴∠CPN＝∠CBM＝120°．