Question

【題目】已知一次函數y=﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為邊在第一象限內作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．

（1）求點C的坐標；

（2）在第一象限內有一點M（1，m），且點M與點C位于直線AB的同側，使得2S△ABM=S△ABC，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（4，1）（2）（1，）

【解析】分析：（1）先求出點A、B的坐標，再求出AB、AC的長，過點C作CD⊥x軸于點D，易得△OBA∽△DAC，得出AD=2,CD=1，從而得到結論；

（2）分別求出△ABC的面積和△ABM的面積，令令直線x=1與線段AB交于點E，ME=m﹣2；分別過點A、B作直線x=1的垂線，垂足分別為F、G，得到AF+BG=OA=2，由△ABM的面積=△BME的面積+△AME的面積，得到ME的長，從而求解即可.

詳解：（1）令y=0，則﹣2x+4=0，

解得x=2，

∴點A坐標是（2，0）．

令x=0，則y=4，

∴點B坐標是（0，4）．

∴AB===2．

∵∠BAC=90°，tan∠ABC==，

∴AC=AB=．

如圖1，

過C點作CD⊥x軸于點D，

∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠CAD=90°，

∵∴∠ABO=∠CAD，

，

∴△OAB∽△DAC．

∴===，

∵OB=4，OA=2，

∴AD=2，CD=1，

∴點C坐標是（4，1）．

（2）S△ABC=ABAC=×2×=5．

∵2S△ABM=S△ABC，

∴S△ABM=．

∵M（1，m），

∴點M在直線x=1上；

令直線x=1與線段AB交于點E，ME=m﹣2；

如圖2，

分別過點A、B作直線x=1的垂線，垂足分別是點F、G，

∴AF+BG=OA=2；

∴S△ABM=S△BME+S△AME=MEBG+MEAF=ME（BG+AF）

=MEOA=×2×ME=，

∴ME=，

m﹣2=，

m=，

∴M（1，）．