Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB＝15，BD＝6，BE＝3，點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD，以PD為邊，在PD右側按如圖方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是（　　）

A.8B.10C.D.12

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先利用等邊三角形的性質和含30°直角三角形的運用，判定△DPE≌△FDH，△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性質，得出點F運動的路徑長.

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=60°，

過D點作DE′⊥AB，過點F作FH⊥BC于H，如圖所示：

則BE′=BD=3，

∴點E′與點E重合，

∴∠BDE=30°，DE=BE=3，

∵△DPF為等邊三角形，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠EDP+∠HDF=90°

∵∠HDF+∠DFH=90°，

∴∠EDP=∠DFH，

在△DPE和△FDH中，，

∴△DPE≌△FDH（AAS），

∴FH=DE=3，

∴點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為3，

當點P在E點時，作等邊三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，則DF1⊥BC，

當點P在A點時，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，則四邊形DF1F2Q是矩形，

∵∠BDE=30°，∠ADF2=60°，

∴∠ADE+∠F2DQ=180°﹣30°﹣60°=90°，

∵∠ADE+∠DAE=90°，

∴∠F2DQ=∠DAE，

在△DF2Q和△ADE中，，

∴△DF2Q≌△ADE（AAS），

∴DQ=AE=AB﹣BE=15﹣3=12，

∴F1F2=DQ=12，

∴當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為12，

故選：D．