Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝5，AB＝3．若M為射線AD上的一個動點，將△ABM沿BM折疊得到△NBM．若△NBC是直角三角形．則所有符合條件的M點所對應的AM長度的和為______．

Answer 1

【答案】10

【解析】

根據四邊形ABCD為矩形以及折疊的性質得到∠A=∠MNB=90°，由M為射線AD上的一個動點可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°與∠NCB=90°都不符合題意，只有∠BNC=90°．然后分N在矩形ABCD內部與N在矩形ABCD外部兩種情況進行討論，利用勾股定理求得結論即可．

解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAD=90°，
∵將△ABM沿BM折疊得到△NBM，
∴∠MAB=∠MNB=90°．
∵M為射線AD上的一個動點，△NBC是直角三角形，
∴∠NBC=90°與∠NCB=90°都不符合題意，
∴只有∠BNC=90°．①當∠BNC=90°，N在矩形ABCD內部，如圖1．

∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、N、C三點共線，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4．
設AM=MN=x，
∵MD=5-x，MC=4+x，
∴在Rt△MDC中，CD2+MD2=MC2，
32+（5-x）2=（4+x）2，
解得x=1；

②當∠BNC=90°，N在矩形ABCD外部時，如圖2．

∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、C、N三點共線，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4，
設AM=MN=y，
∵MD=y-5，MC=y-4，
∴在Rt△MDC中，CD2+MD2=MC2，
32+（y-5）2=（y-4）2，
解得y=9，
則所有符合條件的M點所對應的AM和為1+9=10．
故答案為：10．