Question

【題目】已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點．

（1）操作發現：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數量關系：　 　．

（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PAPB=kAB．

Answer 1

【答案】PA=PB；成立；PA=PB．

【解析】試題分析：（1）根據三角形CBD是直角三角形，而且點P為線段CD的中點，應用直角三角形的性質，可得PA=PB，據此解答即可．（2）首先過C作CE⊥n于點E，連接PE，然后分別判斷出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△PAC∽△PBE，即可判斷出PA=PB仍然成立．（3）首先延長AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，然后根據相似三角形判定的方法，判斷出△AEF∽△BPF，即可判斷出AFBP=AEBF，再個AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PAPB=2k．AB，所以PAPB=kAB，據此解答即可

試題解析：（1）∵l⊥n， ∴BC⊥BD， ∴三角形CBD是直角三角形， 又∵點P為線段CD的中點，

∴PA=PB．

把直線l向上平移到如圖②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：

如圖②，過C作CE⊥n于點E，連接PE，

，

∵三角形CED是直角三角形，點P為線段CD的中點， ∴PD=PE， 又∵點P為線段CD的中點，

∴PC=PD， ∴PC=PE； ∵PD=PE， ∴∠CDE=∠PEB， ∵直線m∥n， ∴∠CDE=∠PCA，

∴∠PCA=∠PEB， 又∵直線l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE， ∴AC=BE，

在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE， ∴PA=PB．

（3）如圖③，延長AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，

，

∵直線m∥n， ∴， ∴AP=PF， ∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF， ∴BF=AB；

在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF， ∴， ∴AFBP=AEBF，

∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PAPB=2k．AB， ∴PAPB=kAB． ∴PA=PB