Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，4），點B（﹣2，0），把△ABO繞點A逆時針旋轉，得△AB′O′，點B、O旋轉后的對應點為B′、O′．

（1）如圖①，若旋轉角為60°時，求BB′的長；

（2）如圖②，若AB′∥x軸，求點O′的坐標；

（3）如圖③，若旋轉角為240°時，邊OB上的一點P旋轉后的對應點為P′，當O′P+AP′取得最小值時，求點P′的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）點O′的坐標為（，+4）；（3）點P′的坐標為（﹣，．

【解析】分析：（1）由點A、B的坐標可得出AB的長度，連接BB′，由旋轉可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，進而可得出△ABB′為等邊三角形，根據等邊三角形的性質可求出BB′的長；

（2）過點O′作O′D⊥x軸，垂足為D，交AB′于點E，則△AO′E∽△ABO，根據旋轉的性質結合相似三角形的性質可求出AE、O′E的長，進而可得出點O′的坐標；

（3）作點A關于x軸對稱的點A′，連接A′O′交x軸于點P，此時O′P+AP′取最小值，過點O′作O′F⊥y軸，垂足為點F，過點P′作PM⊥O′F，垂足為點M，根據旋轉的性質結合解直角三角形可求出點O′的坐標，由A、A′關于x軸對稱可得出點A′的坐標，利用待定系數法即可求出直線A′O′的解析式，由一次函數圖象上點的坐標特征可得出點P的坐標，進而可得出OP的長度，再在Rt△O′P′M中，通過解直角三角形可求出O′M、P′M的長，進而可得出此時點P′的坐標．

詳解：（1）∵點A（0，4），點B（﹣2，0），∴OA=4，OB=2，∴AB==2．

在圖①中，連接BB′．

由旋轉可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′為等邊三角形，∴BB′=AB=2．

（2）在圖②中，過點O′作O′D⊥x軸，垂足為D，交AB′于點E．

∵AB′∥x軸，O′E⊥x軸，∴∠O′EA=90°=∠AOB．

由旋轉可知：∠B′AO′=∠BAO，AO′=AO=4，∴△AO′E∽△ABO，==，即==，∴AE=，O′E=，∴O′D=+4，∴點O′的坐標為（+4）．

（3）作點A關于x軸對稱的點A′，連接A′O′交x軸于點P，此時O′P+AP′取最小值，過點O′作O′F⊥y軸，垂足為點F，過點P′作PM⊥O′F，垂足為點M，如圖3所示．

由旋轉可知：AO′=AO=4，∠O′AF=240°﹣180°=60°，∴AF=AO′=2，O′F=AO′=2，∴點O′（﹣2，6）．

∵點A（0，4），∴點A′（0，﹣4）．

設直線A′O′的解析式為y=kx+b，將A′（0，﹣4）、O′（﹣2，6）代入y=kx+b，得：

，解得：，∴直線A′O′的解析式為y=﹣x﹣4．

當y=0時，有﹣x﹣4=0，解得：x=﹣，∴點P﹣，0），∴OP=O′P′=．

在Rt△O′P′M中，∠MO′P′=60°，∠O′MP′=90°，∴O′M=O′P′=，P′M=O′P′=，∴點P′的坐標為（﹣2+，6+），即（﹣）．