Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+1經過A(-1，0)，B(1，1)兩點．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)閱讀理解：

在同一平面直角坐標系中，直線l1：y=k1x+b1(k1，b1為常數，且k1≠0)，直線l2：y=k2x+b2(k2，b2為常數，且k2≠0)，若l1⊥l2，則k1·k2=-1．

解決問題：

①若直線y=3x-1與直線y=mx+2互相垂直，求m的值；

②是否存在點P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)M是拋物線上一動點，且在直線AB的上方(不與A，B重合)，求點M到直線AB的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+1．（2）①m=；②P(6，-14)或(4，-5)，（3）．

【解析】

試題分析：(1)把A(-1，0)，B(1，1)兩點代入y=ax2+bx+1求解；(2)①根據k1·k2=-1計算；②先求出直線PA的表達式，從而可得與AB垂直的直線的k的值，然后分兩種情況討論：∠PAB=90°與∠PBA=90°，分別求出另一條直角邊所在直線的表達式，與二次函數表達式聯立方程組求解，得到點P的坐標；(3)△ABM的底邊AB不變，當△ABM的面積取最大值時，點M到直線AB的距離有最大值，因此把問題轉化為求△ABM的面積最大值問題，這樣只要建立關于△ABM的面積的二次函數關系式，再化為頂點式即可．

試題解析：(1)根據題意得：解得∴y=x2+x+1．

(2)①3m=-1，∴m=；

②設PA的表達式為y=kx+c，過A(-1，0)，B(1，1)兩點的直線表達式為，顯然過點P的直角邊與AB垂直，∴k=-2，∴y=-2x+c．

若∠PAB=90°，把 A(-1，0)代入得0=-2×(-1)+c，解得c=-2，∴y=-2x-2，點P是直線PA與拋物線的交點，聯立方程組：解得 ∴P(6，-14)；

若∠PBA=90°，把B(1，1)代入y=-2x+c，得1=-2×1+c，解得c=3，∴y=-2x+3，點P是直線PB與拋物線的交點，聯立方程組：解得 ∴P(4，-5)．

綜上所述，存在點P(6，-14)或(4，-5)，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形．

(3)設M(n，n2+n+1)，過M作MQ∥y軸，交AB于點Q，則Q(n，)．

∴S△ABM=[(n2+n+1)-()]×[1-(-1)]= ．當n=0時，最大面積為，AB==，設點M到直線AB距離最大為h，則××h=，∴h=．即點M到直線AB的距離的最大值是．