Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且=PEPO．

（1）求證：PC是⊙O的切線．

（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）連結OC，如圖，由=PEPO和公共角可判斷△PCE∽△POC，則∠PEC=∠PCO=90°，然后根據切線的判定定理可判斷PC是⊙O的切線；

（2）設OE=x，則EA=2x，OA=OC=3x，證明△OCE∽△OPC，利用相似比可表示出OP，則可列方程3x+6=9x，然后解出x即可得到⊙O的半徑．

試題解析：（1）證明：連結OC，如圖，∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，∵=PEPO，∴PC：PO=PE：PC，而∠CPE=∠OPC，∴△PCE∽△POC，∴∠PEC=∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切線；

（2）解：設OE=x，則EA=2x，OA=OC=3x，∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，∴△OCE∽△OPC，∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，∴3x+6=9x，解得x=1，∴OC=3，即⊙O的半徑為3．