Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，點為軸正半軸上一動點，連接，將沿翻折得，點分別為的中點，連接并延長交所在直線于點，連接．當為直角三角形時，點坐標為_______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

證出CD是△AOB的中位線，得出CE∥OB，由折疊的性質得出∠AO′B=∠AOB=90°，分兩種情況：①當∠O′ED=90°時，則O′B⊥OB，四邊形AOBO′是正方形，得出OC=CD=1，得出點D坐標為：（1，1）；
②當∠O′DE=90°時，過點D作DN⊥OB于N，證明Rt△O'DE∽Rt△BO′A，得出∠O′ED=∠BAO′，由平行線的性質得出∠O′ED=∠O′BO=2∠O′BA=2∠ABO，由得出的性質得出△ABO≌△ABO′，得出∠OAB=∠O′AB=2∠ABO，則∠ABO=30°，由直角三角形的性質得出BD=2，由勾股定理得出OB==2，得出DN=BD=1，BN==，求出ON=OB-BN=2-=，得出點D坐標為：（，1）即可．

∵點C，D分別為AO，AB的中點，
∴CD是△AOB的中位線，
∴CE∥OB，
∵△ABO沿AB翻折得到△ABO'，
∴∠AO′B=∠AOB=90°，
∴當△O'DE為直角三角形時，∠O′ED=90°或∠O′DE=90°，
①當∠O′ED=90°時，如圖1所示：
則O′B⊥OB，四邊形AOBO′是正方形，

∵A（0，2），
∴OC=CD=1，
∴點D坐標為：（1，1）；
②當∠O′DE=90°時，過點D作DN⊥OB于N，如圖2所示：

∵點D是AB的中點，
∴O′D=BD，
∴∠DO′E=∠DBO′，
∵∠O′DE=∠AO′B=90°，
∴Rt△O'DE∽Rt△BO′A，
∴∠O′ED=∠BAO′，
∵CE∥OB，
∴∠O′ED=∠O′BO=2∠O′BA=2∠ABO，
∵△ABO與△ABO′關于直線AB對稱，
∴△ABO≌△ABO′，
∴∠OAB=∠O′AB=2∠ABO，
∴∠ABO=30°，
∵A（0，2），
∴OA=2，
∴AB=4，
∴BD=2，OB=，
∴DN=BD=1，BN=，
∴ON=OB-BN=2-=，
∴點D坐標為：（，1）；
綜上所述，點D坐標為：（1，1）或（，1）；
故答案為：（1，1）或（，1）．