Question

【題目】已知A、B、C三點不在同一直線上.

（1）若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上，

①如圖①，當∠A=135°，R=1時，求∠BOC的度數和BC的長．

②如圖②，當∠A為銳角時，求證： ；

（2）若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖③，當∠MAN=60°，BC=2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為P，試探索在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離是否保持不變？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠BOC=90°，BC=，②證明見解析；（2）在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離是否保持不變，理由見解析．

【解析】試題分析：（1）①根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，因為∠A=135°，所以優弧所對的角∠BOC=270°，所以劣弧BC所對的∠BOC=90°，再由勾股定理計算出BC的長度；②延長CO交O于點E，連接BE，所以∠A=∠E，因為CE為0的直徑，得出∠CBE=90°，所以sinA=sinE==；（2）連接AP，取AP的中點K，分別連接CK、BK，由于BP⊥AM，CP⊥AN，作KH⊥BC交BC于點H，根據直角三角形我們斜邊上的中線等于斜邊的一半，得CK=BK=AK=PK，即點A、B、P、C在以K為圓心， AP為半徑的圓上，當定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖，當∠MAN=60時，∠BKC=120，BC=2，即△BKC是一個頂角為120°，底邊BC=2的等腰三角形，不難求出CK=BK=AP=，即AP=，所以在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離保持不變．

試題解析：

解（1）①根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，∵∠A=135°，

∴優弧所對的角∠BOC=270°，

∴劣弧BC所對的∠BOC=90°；

在Rt△BOC中，由勾股定理可知BC==.

②

證明：如圖所示，延長CO交O于點E，連接BE，

∴∠A=∠E，

∵CE為0的直徑，

∴∠CBE=90°，

∴sinA=sinE==.

（2）

連接AP，取AP的中點K，分別連接CK、BK，作KH⊥BC交BC于點H，

∵BP⊥AM，CP⊥AN，K是AP的中點，

∴CK=BK=AK=PK，

∴點A、B、P、C在以K為圓心， AP為半徑的圓上，

∵∠MAN=60，

∴∠BKC=120，

∴∠KBC=30°，

∵BC=2，

∴BH=CH=，

∵cos30°==，

∴BK=，

∴CK=BK=AP=，即AP=.

所以在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離保持不變．