Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣1.25x2+4.25x+1與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）

（1）求直線AB的函數關系式；
（2）動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N．設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵當x=0時，y=1，∴A（0，1）．

當x=3時，y=﹣ ×32+ ×3+1=2.5，∴B（3，2.5），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

則： ，解得： ，

∴直線AB的解析式為y= x+1

（2）解：∵動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，點P移動的時間為t秒，

∴OP=1t=t，

∴P（t，0）（0≤t≤3），

∵過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，

∴M（t， t+1），N（t，﹣ t2+ t+1），

∴s=MN=NP﹣MP=﹣ t2+ t+1﹣（ t+1）=﹣ t2+ t（0≤t≤3）

（3）解：由題意，可知當MN=BC時，四邊形BCMN為平行四邊形，

此時，有﹣ t2+ t= ，

解得t1=1，t2=2，

所以當t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形．

①當t=1時，MP= ，NP=4，故MN=NP﹣MP= ，

又在Rt△MPC中，MC= = ，故MN=MC，此時四邊形BCMN為菱形；

②當t=2時，MP=2，NP= ，故MN=NP﹣MP= ，

又在Rt△MPC中，MC= = ，故MN≠MC，此時四邊形BCMN不是菱形．

【解析】（1）將x=0、3分別代入函數解析式，求出對應的函數值，得到點A、B的坐標，利用待定系數法就可求出直線AB的解析式。
（2）根據題意得到OP=t，可得到點P的坐標，由PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，可得到點M、N的坐標，由s=MN=NP﹣MP，可求得s與t的函數解析式及t的取值范圍。
（3）由題意知MN∥BC，因此當MN=BC時，四邊形BCMN為平行四邊形，建立方程，求解即可求得t的值；當t=1時，在Rt△MPC中，求出MC的長即可；②當t=2時，在Rt△MPC中求出MC即可判斷平行四邊形BCMN是否菱形。
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和拋物線與坐標軸的交點，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．