Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于雙曲線y= （m＞0）和雙曲線y= （n＞0），如果m=2n，則稱雙曲線y= （m＞0）和雙曲線y= （n＞0）為“倍半雙曲線”，雙曲線y= （m＞0）是雙曲線y= （n＞0）的“倍雙曲線”，雙曲線y= （n＞0）是雙曲線y= （m＞0）的“半雙曲線”，
（1）請你寫出雙曲線y= 的“倍雙曲線”是；雙曲線y= 的“半雙曲線”是；
（2）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A是雙曲線y= 在第一象限內任意一點，過點A與y軸平行的直線交雙曲線y= 的“半雙曲線”于點B，求△AOB的面積；

（3）如圖2，已知點M是雙曲線y= （k＞0）在第一象限內任意一點，過點M與y軸平行的直線交雙曲線y= 的“半雙曲線”于點N，過點M與x軸平行的直線交雙曲線y= 的“半雙曲線”于點P，若△MNP的面積記為S△MNP ， 且1≤S△MNP≤2，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）y= ；y=
（2）

解：如圖1，

∵雙曲線y= 的“半雙曲線”是y= ，

∴△AOD的面積為2，△BOD的面積為1，

∴△AOB的面積為1

（3）

解：解法一：如圖2，

依題意可知雙曲線 的“半雙曲線”為 ，

設點M的橫坐標為m，則點M坐標為（m， ），點N坐標為（m， ），

∴CM= ，CN= ．

∴MN= ﹣ = ．

同理PM=m﹣ = ．

∴S△PMN= MNPM=

∵1≤S△PMN≤2，

∴1≤ ≤2．

∴4≤k≤8，

解法二：如圖3，

依題意可知雙曲線 的“半雙曲線”為 ，

設點M的橫坐標為m，則點M坐標為（m， ），點N坐標為（m，

∴點N為MC的中點，同理點P為MD的中點．

連接OM，

∵ ，

∴△PMN∽△OCM．

∴ ．

∵S△OCM=k，

∴S△PMN= ．

∵1≤S△PMN≤2，

∴1≤ ≤2．

∴4≤k≤8．

【解析】解：（1）由“倍雙曲線”的定義
∴雙曲線y= ，的“倍雙曲線”是y= ；
雙曲線y= 的“半雙曲線”是y= ．
所以答案是y= ，y= ；
【考點精析】掌握反比例函數的概念和反比例函數的圖象是解答本題的根本，需要知道形如y＝k/x（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數．自變量x的取值范圍是x不等于0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數；反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點．